Tekrar eden, yansıyan ve dönen şekiller

Fraktallar ve Doğa

Bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş veya büyütülmüş modelleriyle inşa edilen örüntülere fraktal adı verilir. Halı veya kilim desenlerini, pisagor ağacını fraktallara örnek verebiliriz.Bir cismi oluşturan parçalar ya da bileşenlerin cismin tamamına benzemesi matematikte “fraktal” olarak adlandırılır.Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde tekrarlanır. Öyle ki bütünün her bir parçası büyütüldüğünde yine cismin bütününe benzer. Fraktal terimi parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Latince “fractus” sözcüğünden türetilmiştir.

İlk olarak 1975’te Polonya asıllı matematikçi Beneoit B. Mandelbrot tarafından ortaya atılan fraktal kavramı, yalnızca matematik değil fizikokimya, fizyoloji ve akışkanlar mekaniği gibi değişik alanlar üzerinde önemli etki-ler meydana getiren yeni bir geometri sisteminin doğmasına yol açmıştır. Bu tanımlar ışığında gözlerimizi tabiata çevirdiğimizde sayısız fraktal cisimlerle, hatta manzaralarla karşılaşırız. Kar tanelerinin kristal şekilleri kendi başlarına birer fraktaldır. Bir ağaç, bir gövdeye, onun üzerinde birkaç ana dala, her bir ana dalın üzerindeki daha ince dallara ve onların da üzerinde bu şekilde çoğalan nice dallara sahiptir. Baktığınızda bu ağacın geometrisi bir kaos ve düzensizlik içindedir. Ağaçtan bir dal koparıp onu incelediğinizde o dal parçası şekil olarak ağacın kendisine benzemekte ve adeta minyatür bir ağaç oluvermektedir. Bu dal parçasının kendine ait bir gövdesi, kolları ve daha ince dalları vardır. Belirli bir ağacın şekli üzerinde tohumdaki genetik program, alabildiği güneş ışığı, iklim koşulları, maruz kalınan hastalıklar, toprak koşulları, diğer ağaçların konumu vb. de dahil olmak üzere birbirine bağlı birçok karmaşık etken rol oynar. Akciğerlerimizdeki bronş ve bronşcuklar da ağaçlardaki gibi fraktal uzanıma sahiptir. Akarsular da yatakları boyunca kollara derelere çaylara ve daha küçük kanallara bölünür. Bir dere ya da nehir tek başına incelendiğinde o da nice kollara ayrılır. Benzer durum vücudumuzdaki damar sisteminde de mevcuttur. Çöllerdeki kumların rüzgar nedeni ile aldığı şekiller ve sakin bir havada denizdeki dalgaların şekilleri de fraktal yapıya birer örnek olarak verilebilir. Tabiatta var olması mümkün olan çok geniş ve eşsiz bir fraktal dağılım bulunmaktadır. Özellikle bilgisayar ekranlarında matematiksel formüllerle üretilen bazı fraktal biçimlerde eşsiz olma durumu bir dereceye kadar mekaniktir. Doğadaki ve sanattaki diğer fraktallerde kendi kendine benzerlik, bu tanıma baş kaldırırcasına farklı olan şeylerle bir arada bulunur. Mikroevren ve Makroevren arasındaki benzersiz fraktal yapılar dinamik bir sistemin içinde meydana gelen karmaşık ilişkilerin hepsinin bir ürünüdür. Gerçekliğin fraktal özelliklerine dikkat etmek; dünyayı oluşturan ve onu bir arada tutan gizemli, tahmin edilmez hareketi bir anlığına görmenin bir yoludur. Fraktal şekiller bilgisayar yardımı ile matematiksel olarak da modellenebilmektedir. Matematiksel fraktallar etkileyicidir, ama tekrar tekrar gördükten sonra böyle bir objenin tazeliği solar. Aynı durum, karmaşık bir süreçten ortaya çıkan, bu sayede sayısız “bölüm” ün birbirleriyle karşılıklı bağlantı içerisinde olan doğanın yaradılışları için söz konusu değildir; bu, bir algoritmanın tekrarlanması ile üretilen matematiksel bir taklide karşı hakiki kaosdur. Sonuç olarak, doğal fraktaller eşşizlik, kendiliğindenlik, derinlik ve gizem niteliğine sahiptir. Bu noktada karşımıza ‘kaos’ kavramı çıkmaktadır. Örnekleri verilen fraktal yapının bütününe ve parçalarına ait bir kural ortaya konamaz. Fraktal gelişim yani daha küçük benzer yapıların oluşma süreçleri daha önceden belirlenemez ve öngörülemezler. Günlük dilde kaosu, dağınıklık, kargaşa, keşmekeş, başıbozukluk, düzensizlik, hercümerç, dağdağa sözcüklerine yakın bir mana vererek, olumsuz durumlar için kullanıyoruz. Kaos Yunanca’da (khaos), yarık, boşluk, uçurum, hudutsuzluk, ıssızlık, girdap manalarını taşı-yor. Günlük dilden geçmiş olmakla birlikte kaos terimi, denetlenemeyen, öngörülemeyen küçük değişikliklerin büyük sonuçlara yol açtığı veya büyük değişikliklerin bir şey olmamışçasına yavaş yavaş kaybolduğu bir dünyanın kapısını aralamaya cesaret eden bilimcilerin dilinde farklı bir anlam kazanır. Kaos, hareketler, taşınmalar, doğumlarla; büyümeler, yıpranmalar, başkalaşmalarla; onarmalar, iyileşmeler, kırılmalar, yıkılışlar, patlamalar, heyelanlarla ilgilidir. Kaos için en kısa ve etkili olan “dü-zensizliğin düzeni” tanımıdır. Kaos, kuralsız bir başlangıcı, tahmin edilemez bir gelişimi ve artan bir karmaşıklığı anlatmaktadır. Kaosun tanımı entropiyi de hatırımıza getirmektedir. Entropi de kısaca bir sistemin ki bu sistem evrenin kendisi olabileceği gibi bir molekül ya da hareketli cisimler grubu da olabilir- düzensizliğindeki artışın bir göstergesidir. Entropi her ne kadar evrendeki termodinamik yasalar için kullanılsa da genel manada düzensizliğin artışını anlatan bir kavramdır. Tabiatta bir başlangıçı olan her varlık ve ona ait gelişim süreci geri dönüşü olmayan bir kaosa ve entropiye sahiptir. Büyüme, gelişme ve çoğalma zaman içerisinde karmaşık bir yapılaşmayı getirecektir. Tabiattaki bu kaos bizim anladığımız anarşi içeren değil aksine birbiri ile uyumlu, işbirliği yapan, birbirine destek olan ve en mükemmel estetiği içinde barındıran bir haldir. Karmaşık süreçlerin bildiğimiz fiziksel ve matematiksel kurallara hapsolmamış olması özgürlük kavramının tabiatta en doğru olarak bize anlatılmasıdır. Kalıplar yok, birbirinin benzeri olsa da hiçbirşey aynı değil, her parça ayrı bir yol izlese de ortak olarak bir bütünü oluşturup onu geliştiriyorlar. Hiçbir eleman bir diğerinin gelişimini engellemediği gibi, birbirlerine destek oluyor. Her bir farklılık bütünü daha da zenginleştirmektedir. Kaosta aslında bir düzen var; fakat bunu zihinlerimizde bir fomüle oturtamıyor oluşumuz ona bir düzensizlik sıfatı da eklememize neden oluyor. Tabiatın bu karakterinde bir rastgelelik görünse de sezdiğimiz ama, henüz anlayamadığımız planlar ve hesaplar bu kaosun her bir ferdinin varlığında mevcuttur. Tabiatı seyrederken ve incelerken bakışlarımızı ayrıntılara, bütünün parçalarına hatta parçaların da daha küçük elemanlarına yöneltiğimizde bilip gördüğümüzden daha zengin daha görkemli bir doğa göreceğiz. 

 

Eşkenar Üçgen ve Altıgen Fraktalı

 

Bu doğru parçaları bir üçgen üzerinde oluşturulmuştur. Dolayısıyla fraktaldır, ama eşkenar üçgen veya altıgen fraktalı deyil, doğru parçası fraktalıdır.Sadece oluştuğu yerler eşkenar üçgen ve altıgendir.

NOT: Bazı dersaneler haklı olarak test sorularında eşkenar üçgen ve altıgen fraktalı olamaz diye not düşmüşler.Çünkü fraktal bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş yada büyültülmüşleri ile inşa edilen örüntülerdir.Bu sebeble karışıklık oluşmuştur.Aslında burada doğru parçası fraktalı vardır.Ama meydana geldiği yerler eşkenar üçgen ve altıgendir.Sonuç olarak MEB kitabında eşkenar üçgen ve altıgen üzerinde meydana gelen örüntüler fraktal olarak alınmıştır.Bizde fraktal kabul edeceğiz.

FRAKTALLAR VE ÖRÜNTÜLER

Alttaki şekiller birer fraktaldır.

 

FRAKTAL ÖRNEKLERİ ve FRAKTAL RESİMLERİ

Fraktallarla İlgili Örnek Sorular ve Cevapları
1)

Yukarıdaki soruda 1.adımda 1 kare, 2.adımda 2 kare 4 üçgen, 3.adımda 3 kare 8 üçgen, 4.adımda 4 kare 12 üçgen vardır. Soruda 4.adım olarak gösterdiği şekil 3.adımın şeklidir.Karelerin sayısının üçgenlerin sayısına oranı 4/12 yani 1/3′tür.Doğru cevap D şıkkıdır.

2)

Yukarıdaki soruda ilk 3 adım parçalanarak giden fraktaldır.Ama 3. adımdan sonra işler değişmiştir.Araya çarpılar girmiş fraktal bozulmuştur.Doğru cevap B şıkkıdır.

3)

Yukarıdaki soruda A,B,D seçenekleri sadece örüntüdür.Ama C seçeneğindeki örüntü fraktaldır.Kare 9′a ayrılıp ortadaki parça yine 9′a bölünerek devam etmiştir.Doğru cevap C şıkkıdır.
4)

Yukarıdaki soruda A,C,D seçeneklerinde ilk verilen şekil küçültülerek devam ettirilmiş fraktal örnekleridir.Ama B seçeneği fraktal deyil sadece örüntüdür.Doğru cevap B şıkkıdır.

Koordinat Düzleminde Yansıma, Öteleme ve Dönme

Verilen Bir Şeklin Eksenlere Göre Ötelenmesi

 

X Eksenine paralel sağa a birim öteleme

A(x,y) iken ötelenmiş hali A’(x+a,y)

(-2,4) 3 br sağa (-2+3,4) yani (1,4)

X Eksenine paralel sola a birim öteleme

A(x,y) iken ötelenmiş hali A’(x-a,y)

(7,-1) 5 br sola (7-5,-1) yani (2,-1)

Y Eksenine paralel yukarı a birim öteleme

A(x,y) iken ötelenmiş hali A’(x,y+a)

(2,3) 2 br yukarı (2,3+2) yani (2,5)

Y Eksenine paralel aşağı a birim öteleme

A(x,y) iken ötelenmiş hali A’(x,y-a)(-3,-3) 3 br aşağı (-3,-3-3) yani (-3,-6)

 

Örnek: 

 
Yukarıdaki soruda -5+6=+1, 3-5=-2 eder.Yani 6 birim sağa,5 birim aşağıya ötelenmiştir.Doğru cevap B şıkkıdır. 

 

Verilen Bir Şeklin X Eksenine Göre Yansıması

 

İlk başta noktamızın koordinatı                   A(x,y)    iken

X eksenine göre yansıması altındaki görüntüsü   A’(x,-y)(2,-3) x’e göre yansıması (2,3)

 

Örnek:

 Yukarıdaki soruda x’ler sabit kalıp, y’lerin işareti eksi ile çarpılacak.(-3,-4), (1,-5), (-2,-1) olacak.Doğru cevap D şıkkıdır. 

 

Verilen Bir Şeklin Y Eksenine Göre Yansıması

 

İlk başta noktamızın koordinatı                    A(x,y)    iken

Y eksenine göre yansıması altındaki görüntüsü   A’(-x,y)(2,-3) y’ye göre yansıması (-2,-3)

 

Örnek:

Yukarıdaki soruda y eksenine göre yansıması alınırsa y’ler sabit x’lerin işareti eksi ile çarpılacak. A’(-3,-1), B’(-2,-7), C’(-6,-3) olacak.Doğru cevap B şıkkıdır.

 

Verilen Bir Şeklin Orijine Göre Yansıması

 

İlk başta noktamızın koordinatı                    A(x,y)    iken

Orijine göre yansıması altındaki görüntüsü   A’(-x,-y)(2,-3) orijin’e göre yansıması (-2,+3)

 

Örnek:

Yukarıdaki soruda orijine göre yansıması alınırsa sadece x ve y’nin yerleri değişecek.Meydana gelen A’B'C’D' çokgeninin şeklini çizdikten sonra noktaları karşılaştırırız. (3,-3), (4,-4), (5,-5) noktaları A’B'C’D' çokgeninin  içinde kalmıştır.Doğru cevap A şıkkıdır.

Verilen Bir şeklin Orijin Etrafındaki Dönmesi 

 

İlk başta noktamızın koordinatı       A(x,y)    iken

90 derece saat yönünde dönünce     A’(y,-x)   oluyor.

180 derece saat yönünde dönünce   A”(-x,-y) oluyor

270 derece saat yönünde dönünce   A”’(-y,x) oluyor.

360 derece saat yönünde dönünce   A(x,y)     oluyor.(-2,-3) saat yönü 90 derece (-3,2)
(-2,-3) saat yönü 180 derece (2,3)
(-2,-3) saat yönü 270 derece (3,-2)

 

Örnekler:

Yukarıdaki soruda orijin etrafında saat yönünde 3 defa 90 derece çevirmek demek,saat yönünün tersi 90 derece çevirmek demektir.Oda x ve y yer değiştirip y’nin işareti eksi ile çarpılacak.(5,-2) yer değişir ve y eksiyle çarpılırsa (2,5) olur.Doğru cevap C şıkkıdır.

 Yukarıdaki soruda verilen şeklin orjin etrafında 180 derece dönmesinde x ve y’ler sabit kalıp,x ve y’nin işaretleri eksi ile çarpılacak.İşlemler uygulandığında 3.bölgede B’ ile C’ aynı yatay düzlemde aynı hizada olması gerekiyor.Doğru cevap B şıkkıdır. 

 

İlk başta noktamızın koordinatı               A(x,y)    iken

90 derece saat yönünün tersi dönünce     A’(-y,x)   oluyor.

180 derece saat yönünün tersi dönünce   A”(-x,-y) oluyor

270 derece saat yönünün tersi dönünce   A”’(y,-x) oluyor.

360 derece saat yönünün tersi dönünce   A(x,y)     oluyor.(-1,5) saat yönü tersi 90 derece (-5,-1)
(-1,5) saat yönü tersi 180 derece (1,-5)
(-1,5) saat yönü tersi 270 derece (5,1)

 

Örnek:

Yukarıdaki soruda verilen şeklin orjin etrafında saat yönünün tersi 90 derece dönmesinde x ve y’ler yer değiştirip,y’nin işareti eksi ile çarpılacak.Doğru cevap D şıkkıdır.

 

Ötelemeli Yansıma

Bir şeklin, bir doğru boyunca önce yansıtılıp ötelenmesi ile önce ötelenip yansıtılması arasında bir fark yoktur.Her iki durumda uygulandığında şekiller aynı yerde ve aynı konumda olur.Bir değişiklik olmaz.Örnek:

Yukarıdaki soruda ilk şekle hepsi yani I,II,III yaptırıldığında şekil istenen konuma gelmiş olur.Doğru cevap D şıkkıdır