Olasılık
faktöriyel: ( ! ) sembolü ile gösterilir.örneğin n! demek 1′den n’e kadar olan sayılarının yanyana yazılıp çarpımı demektir. 5! demek 1′den 5′e kadar sayıların yanyana yazılıp çarpılmasıdır
n!=1.2.3.4.5………n
0!=1
1!=1
2!=1.2=2
3!=1.2.3=6
4!=1.2.3.4=24
5!=1.2.3.4.5=120
10!=7!.8.9.10
6!=4!.5.6
örnek:
5!/3!=1.2.3.4.5/1.2.3=120/6=20
n!/(n-1)!=(n-1)!.n/(n-1)!=n
FAKTÖRİYELLER
| 1. | x ve n sayma sayıları olmak üzere, 21! = 2n.x ise, n nin alabileceği en büyük değer kaçtır? | ||||
| a) 16 | b) 17 | c) 18 | d) 19 | e) 20 | |
|
|
|||||
| 2. | n bir doğal sayı olmak üzere, 67! / 15n işleminin sonucunun doğal sayı olması için, n nin en büyük değeri kaç olmalıdır? | ||||
| a) 15 | b) 16 | c) 17 | d) 18 | e) 19 | |
|
|
|||||
| 3. | m ve n ardışık çift doğal sayılardır. m>n olmak üzere, m!/n! + 4 = 94 ise, n kaçtır ? | ||||
| a) 7 | b) 8 | c) 9 | d) 10 | e) 11 | |
|
|
|||||
| 4. | 2! + 3! + 4! + … + 1472! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? | ||||
| a) 1 | b) 2 | c) 3 | d) 4 | e) 5 | |
|
|
|||||
| 5. | 6! + 7! + 8! toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez ? | ||||
| a) 3 | b) 5 | c) 15 | d) 25 | e) 45 | |
|
|
|||||
| 6. | 18! sayısı, 16! sayısının kaç katıdır? | ||||
| a) 16 | b) 18 | c) 34 | d) 306 | e) 645 | |
|
|
|||||
| 7. | f(a)=(a+2)! ise, f(3) – f(2) = ? | ||||
| a) 1 | b) 4 | c) 5 | d) 16 | e) 96 | |
|
|
|||||
| 8. | 120! – 83! – 1 sayısının sonunda kaç tane dokuz vardır? | ||||
| a) 18 | b) 19 | c) 20 | d) 21 | e) 22 | |
|
|
|||||
|
|
|||||
| 9. | n.(n+1)! = 72 ise, n kaçtır? | ||||
| a) 3 | b) 6 | c) 8 | d) 9 | e) 36 | |
|
|
|||||
PERMÜTASYON NEDİR?
Genel çarpma kuralı: veya kelimesi geçerse toplarız.(1 şiir veya 1 hikaye)
ve kelimesi geçerse çarparız.(1 şiir ve 1 hikaye)
Permütasyon; birbirinden farklı elemanların değişik şekillerde sıralanışını gösterir.
Permütasyon olan ifadelerde:
Kaç türlü sıralanabilir?
Kaç türlü yazılabilir?
Kaç türlü dizilebilir yada poz verilebilir?
Anlamlı yada anlamsız kaç türlü kelime yazılabilir?
Halka ve yuvarlak masa etrafında kaç türlü oturulabilir?
n elemanlı bir kümenin r elemanlı permütasyonu:
P(n,r)=n! / (n-r)!
P(n,n)= n! p(0,0)= 1
P(n,0)= 1 P(n,1)= n
Dairesel Permütasyon: (n-2)!
PERMÜTASYONLA İLGİLİ ÖRNEK SORULAR
örnek: A şehrinden B şehrine 3 farklı yol, B şehrinden C şehrine 5 farklı yol vardır. A şehrinden C şehrine gitmek isteyen bir kişi kaç değişik şekilde gider?3 . 5 = 15 değişik şekilde gider.
örnek: 10 kişilik bir ekipten bir başkan ve bir başkan yardımcısı kaç değişik biçimde seçilir?
10 . 9 = 90 değişik şekilde seçilir.
örnek: 6 kişi , 2 kişilik bir sıraya kaç değişik şekilde oturur?
P(6,2)=6! / (6-2)!
P(6,2)=720 / 24 = 30 değişik şekilde oturur.
örnek: 6 kişi yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir?
6! = 1.2.3.4.5.6 = 720 farklı şekilde dizilebilir.
OLASILIK NEDİR?
Çıktı: Bir deneyde elde edilecek sonuçların herbirine denir.
Evrensel küme: Çıktıların oluşturduğu kümeye evrensel küme denir.Evrensel kümeye her eleman 1 kez yazılır. KAHRAMANMARAŞ kelimesinin harflerini inceleyelim.
E=(K,A,H,R,M,N,Ş) s(E)=7
Örnek uzay: Bir deneyde gelebilecek çıktılar kümesine denir.Herbir çıktı ayrı ayrı yazılır.
Ö=(K,A,H,R,A,M,A,N,M,A,R,A,Ş)
Olay: Örnek uzayın herbir alt kümesine bir olay denir.Yani olması istenen çıktıların kümesine denir.
K olma olayı (K) 1 elemanlı
A olma olayı (A,A,A,A,A) 5 elemanlı
Bağımlı olaylar: İki olaydan herhangi birinin gerçekleşmesi diğer olayın olma olasılığını değiştiriyorsa bu olaylara bağımlı olaylar denir.
Bağımsız olaylar: İki olaydan herhangi birinin gerçekleşmesi diğer olayın olma olasılığını değiştirmiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir.
Kesin olay: Gerçekleşmesi kesin olan olaylara denir. o(A)=1 olan olaylardır.
Örneğin sınava çalışmayan bir öğrencinin sınavdan kötü not alması kesin bir olaydır.
İmkansız olay: Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylara denir. o(A)=0 olan olaylardır. Örneğin balığın kavağa çıkması imkansız bir olaydır.
Olasılık: P(A)=S(A) / S(E)
Bir olayın olasılığı=istenilen durumların sayısı / tüm durumların sayısı
p(A)=0 ise imkansız olay=gerçekleşmesi mümkün değil
P(A)=1 ise kesin olay=gerçekleşmesi kesin
Herhangi bir olayın olmama olasılığı:
P’(A) = 1 – P(A)
Örnek: Ö=(M,A,R,M,A,R,A) s(Ö)=7
çekilen bir harfin A olma olasılığı O(A)=3/7
çekilen bir harfin A olmama olasılığı O(A’)=1-3/7=4/7
Bağımsız olay:
Birbirlerini etkilemiyorlarsa(para-zar)
P(A Ç B)= P(A) . P(B)
örnek: Para ile zar aynı anda atılıyor.Paranın yazı, zarında 3 gelmesi olasılığı kaçtır?
P(A Ç B)= 1/2 . 1/6 = 1/12
Ayrık iki olayın birleşiminin olasılığı:
P(AUB)= P(A) + P(B)
örnek: Bir kutuda 1′den 10′a kadar numaralandırılmış 10 kart vardır.Kutudan rastgele seçilen bir kartın 2 veya 8 numaralı kart olması olasılığı kaçtır?
P(AUB)= 1/10 + 1/10 = 2/10 = 1/5
Ayrık olmayan iki olayın birleşiminin olasılığı:
P(AUB)= P(A) + P(B) – P(A Ç B)
örnek: Atılan bir zarın üst yüzeyine gelecek sayıların 3′ten büyük veya çift gelme olasılığını bulunuz?
E=(1,2,3,4,5,6)
A=(4,5,6)
B=(2,4,6)
A Ç B=(4,6)
P(AUB)= 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6 = 2/3
s(H)=8
OLASILIK ÇEŞİTLERİ NELERDİR?
Deneysel olasılık: Bir olasılık deneyi sonunda hesaplanan olasılığa denir. Bu olasılıkta deneyin yapıldığı problemin içinde geçer, problemi okuduğunuzda bir şeyler yapıldığını anlar, verileri görürsünüz.örnek: Hileli bir zar 20 kez atıldığında 3 kez 1, 2 kez 2, 3 kez 3, 2 kez 4, 3 kez 5 ve 7 kez 6 geliyor. Buna göre bu zar atıldığında 5 gelme olasılığı kaçtır? cevap: 3/20
Teorik olasılık: Bir olasılık deneyinden teorik olarak beklenen olasılığa denir.Genelde şimdiye kadar karşılaştığımız problem tipleridir.İstenen durumların sayısını tespit edip tüm durumlara böleriz.
örnek: Bir zar atıldığında 3 gelme olasılığı kaçtır? cevap: 1/6
Öznel olasılık: Kişilerin kendi düşüncelerine göre karar verdikleri olasılıklara denir.Bu tip problemlerde kişilerin ismi ve tahmini yer alır.
örnek: 25 yumurtadan bazıları çift sarılıdır.Ali’ye göre alınacak bir yumurtanın çift sarılı olma olasılığı 10/25=0,4′tür. Ayşe’ye göre alınacak bir yumurtanın çift sarılı olma olasılığı 15/25=0,6′dır.
