Sayı örüntüleri ve özdeşlikler

Fibonacci Sayı Dizisi

Fibonacci sayı dizisinin Leoardo Fibonacci tarafından bir problemin çözümünde bulunduğunu ve bu sayıların 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… şeklinde (ilk iki sayı hariç) kendinden önce gelen iki sayının toplamı şeklinde ilerlediği görülmektedir.

Leonardo Fibonacci’nin tavşanların üremesi üzerinde incelediği bu sayı dizisi diğer başka hayvan türlerinde de uygulanabilmektedir.
Aşağıda verilen örnek bal arılarının çoğalmasıyla ilgilidir.• Her erkek arı sadece bir dişiden meydana gelmekte, yani tek ailesi bulunmaktadır.
• Her dişi arı ise bir anne ve bir babadan meydana gelmekte ve iki ailesi bulunmaktadır.

 

Bu durumda arıların üreme şemasını çıkaracak olursak yandaki biçim ortaya çıkacaktır:

 

	Aile	Büyük Aile	B.B. Aile	B.B.B. Aile	B.B.B.B. Aile
Erkek Arı	1	2	3	5	8
Dişi Arı	2	3	5	8	13

Şemada da görüldüğü gibi oluşan sayılar 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987.. dizisini, yani Fibonacci sayılarını oluşturmaktadır.Örnek:

 

Pascal ÜçgeniPascal üçgeni, binom açılımındaki katsayıları bulmaya yarar.Pascal üçgenindeki sayılar kendi üstündeki sayıların toplanarak yazılmasıyla elde edilir. Her satırın başına ve sonuna 1 yazılır.
Pascal üçgeni olarak bilinen, bu üçgen ile ilgili Pascal’ dan öncede çalışmalar yapılmıştır. Çinli bilim adamlarından Pingala, Müslüman bilim adamlarından Ömer Hayyam gibi bir çok bilgin bu üçgen üzerinde incelemeler yapmıştır. Blaise Pascal ise kendinden önceki çalışmaları toplayıp farklı alanlarda ki uygulamalarını keşfetmiştir. Uygulama alanları içinde Olasılık, Alt küme hesabı, İki terimli bir harfli ifadenin kuvvetlerinin hesabı gibi farklı kullanım alanları vardır.

 

Örneğin;
s(A)=3 …………1…..3…..3…..1
Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim.
A={a,b,c} kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım.
0 elemanlı alt kümesi{} 1 tane
1 elemanlı alt kümeleri{a},{b},{c} 3 tane
2 elemanlı alt kümeleri{a,b},{a,c},{b,c}3 tane
3 elemanlı alt kümeleri{a,b,c} 1 taneÜstteki 1 hariç 3.satırdaki sayılar olduğunu görünüz.O halde bu tablo A kümesinin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı,3 elemanlı alt kümelerinin sayısını gösterir.Örnek:

 

ARİTMETİK DİZİ

Ardışık her iki terimi arasındaki fark eşit olan diziye aritmetik dizi denir.

Yani her n pozitif tam sayısı için,a

a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃ =….= a_n+1 – a_n = d

olacak şekilde bir dЄIR varsa, (a_n) dizisine aritmetik dizi;

d sayısına da aritmetik dizinin ortak farkı denir.

GENEL TERİMİ

İlk terimi a₁ ve ortak farkı d olan (a_n) aritmetik dizisinin genel terimini a₁ ve d türünden bulalım:

a₁= a₁

a₂ = a₁ + d

a₃ = a₂ + d= (a₁ + d) + d= a₁ + 2d

a₄ = a₃ + d= (a₁ + 2d) + d= a₁ + 3d

a_n = a₁ + (n-1).dÖrnekler:

 

GEOMETRİK DİZİ

Ardışık her iki terimi arasındaki oran eşit olan diziye geometrik dizi denir.

Yani her n pozitif tam sayısı için,

a₂/ a₁ = a₃/ a₂= a₄/ a₃=….= a_n+1/ a_n = r (a_nsıfırdan farklı)

olacak şekilde bir rЄIR – {0} varsa, (a_n) dizisine geometrik dizi;

r sayısına da geometrik dizinin ortak çarpanı ya da ortak oranı denir.

GENEL TERİMİ

İlk terimi a₁ ve ortak oranı r olan (a_n) geometrik dizisinin genel terimini a₁ ve r türünden bulalım:

a₁= a₁

a₂ = a₁ . r

a₃ = a₂ . r= (a₁ . r) . r= a₁ . r²

a₄ = a₃ . r= (a₁ . r²) . r= a₁ . r³

a_n = a₁ . r^n-1

Örnekler:
Sayı Örüntüsü Soruları

 

ÇARPANLARA AYIRMA

ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA

A(x) . B(x) ± A(x) . C(x) = A(x) . [B(x) ± C(x)]

 

En az dört terimi olan ifadeler ortak çarpan  parantezine alınacak biçimde gruplandırılır,  sonra ortak çarpan parantezine alınır.

 

 

 

 

 

ÖZDEŞLİKLER

1. İki Kare Farkı – Toplamı

 I) a² – b² = (a – b) (a + b)

II) a² + b² = (a + b)² – 2ab  ya da

    a² + b² = (a – b)² + 2ab  dir.

 

2. İki Küp Farkı – Toplamı

   I) a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b² )

  II) a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b² )

 III) a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab (a – b)

IV) a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab (a + b)

 3. n. Dereceden Farkı – Toplamı

I) n bir sayma sayısı olmak üzere,

   xⁿ – yⁿ = (x – y) (x^{n – 1} + x^{n – 2}y + x^{n – 3} y²

 + … + xy^{n – 2} + y^{n – 1}) dir.

II) n bir tek sayma sayısı olmak üzere,

    xⁿ + yⁿ = (x + y) (x^{n – 1} – x^{n – 2}y + x^{n – 3} y²

 – … – xy^{n – 2} + y^{n – 1}) dir.

 4. Tam Kare İfadeler

I) (a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)² = (a – b)² + 4ab

II) (a – b)² = a² – 2ab + b²
(a – b)² = (a + b)² – 4ab
III) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)

IV) (a + b – c)² = a² + b² + c² + 2(ab – ac – bc)

 

5. (a ± b)ⁿ nin Açılımı

Pascal Üçgeni
(a + b)ⁿ açılımı yapılırken, önce a nın

n . kuvvetten başlayarak azalan, b nin 0 dan

başlayarak artan kuvvetlerinin çarpımları

yazılıp toplanır.Sonra n nin Paskal üçgenindeki karşılığı

bulunarak kat sayılar belirlenir.

(a – b)ⁿ yukarıdaki biçimde yapılır ancak b nin;

çift kuvvetlerinde terimin önüne (+),

tek kuvvetlerinde terimin önüne

(–) işareti konulur.

 

• (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 • (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 • (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 +b4 • (a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4

 

 

 

 

 

 

ÖRNEKLER:

1-)ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by)

                           =x(a+b)+y(a+b)

                           =(a+b).(x+y)

 

2-)x-ax+2x-2a=(x-ax)+(2x-2a)

                       =x(x-a)+2(x-a)

                       =(x-1).(a-1)

3-)ax-a-x+1=(ax-a)+(-x+1)

                   =a(x-1)-1(x-1)

                   =(x-1).(a-1)

Düzenle