Doğrunun incelenmesi

DOĞRUNUN EĞİMİ NASIL HESAPLANIR?

Eğim, dikey mesafenin yatay mesafeye oranlanması ile bulunur. Eğim, ondalık kesir veya yüzde olarak ifade edilir.
Bir dik üçgende, eğim hesaplanırken tanjantına bakılır. Tanjant, karşı kenar uzunluğunu komşu kenar uzunluğuna bölmektir.
Denklemi y = ax + b biçiminde olan bir doğrunun eğimi, x’in kat sayısına yani a değerine eşittir.

• Yukarıdaki şekillerde d doğrusunun farklı durumlarına karşılık oluşan a (alfa) eğim açısı gösterilmiştir. Doğrunun Eğiminin Örnek Üzerinde Anlatımı

  

  Örnek Sorular ve Çözümleri

  Örnek: y = 2x + 5 doğru denkleminin eğimi kaçtır?
  
  Çözüm: y=mx+n tarzındaki denklemlerin eğimi m’dir.Denklemin grafiği koordinat ekseninin kollarından geçer.Grafik sola yatıktır.
  Buradaki denklemde eğim 2′dir.
  x=0 verilir y bulunur.
  y=2.0+5
  y=0+5=5
  y=0 verilir x bulunur.
  0=2x+5
  -5=2x oda x=-5/2 olur.
  Doğru grafiği (-5/2,5) noktasından geçer.
  

  Örnek: y = -6x + 6 doğru denkleminin eğimi kaçtır?
  
  Çözüm: y=mx+n tarzındaki denklemlerin eğimi m’dir.Denklemin grafiği koordinat ekseninin kollarından geçer.Grafik sağa yatıktır.
  Buradaki denklemde eğim -6′dir.
  x=0 verilir y bulunur.
  y=-6.0+6
  y=0+6=6
  y=0 verilir x bulunur.
  0=-6x+6
  6x=6 oda x=6/6=1 olur.
  Doğru grafiği (1,6) noktasından geçer.
  
  Örnek: y= x doğru denkleminin eğimi kaçtır?

  Çözüm: y=mx tarzındaki denklemlerin eğimi m’dir.Denklemin grafiği koordinat ekseninde orijinden geçer.Grafik sola yatıktır.
  Buradaki denklemde eğim +1′dir.
  x=0 verilir y bulunur.
  y=0
  y=0 verilir x bulunur.
  0=x
  Doğru grafiği (0,0) noktasından geçer.
  
  Örnek: y= -x doğru denkleminin eğimi kaçtır?

  Çözüm: y=mx tarzındaki denklemlerin eğimi m’dir.Denklemin grafiği koordinat ekseninde orijinden geçer.Grafik sağa yatıktır.
  Buradaki denklemde eğim -1′dir.
  x=0 verilir y bulunur.
  y=-1.0
  y=0
  y=0 verilir x bulunur.
  0=-x
  x=0/-1 oda x=0 olur.
  Doğru grafiği (0,0) noktasından geçer.

  EŞİTSİZLİKLER NE DEMEKTİR?

  >, sembolleri kullanılarak oluşturulan sayısal ifadelere eşitsizlik denir.
  Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya her iki tarafından aynı sayı çıkarılırsa eşitsizlik yön değiştirmez.
  Bir eşitsizliğin her iki tarafı, pozitif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirmez; negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse yön değiştirir.
  Burada eşitsizliğin yön değiştirmesi demek, küçüktür işaretinin büyüktür olması demek veya büyüktür işaretinin küçüktür işareti olması demektir.³, <, £

  1. Kapalı Aralık

   

   

   

   

  a < b olsun.

  a ve b sayıları ile bu sayıların arasındaki tüm reel (gerçel) sayıları kapsayan aralık
  [a, b] veya a £ x £ b, x Î IR biçiminde gösterilir ve “a, b kapalı aralığı” diye okunur.

  2. Açık Aralık

   

   

   

   

  (a, b) veya a< x< b, x Î IR ifadesine açık aralık denir.

  3. Yarı Açık Aralık
  
  (a, b) açık aralığının uç noktalarından herhangi birinin dahil edilmesiyle elde edilen aralığa yarı açık aralık denir.

   

   

   

   

  [a, b) veya a £ x < b ifadesine sağdan açık aralık denir.
  

  (a, b] veya a < x £ b ifadesine soldan açık aralık denir.

   

  EŞİTSİZLİKLERİN ÖZELLİKLERİ

  1) Bir eşitsizliğin her iki yanına aynı sayı eklenir ya da çıkarılırsa eşitsizlik aynı kalır.

  a < b 

  a + c < b + c

  a – d < b – d dir.

  2) Bir eşitsizliğin her iki yanı pozitif bir sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik aynı kalır. Negatif sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.

   

   

  a < b c > 0 ise, a . c < b . c d < 0 ise, a . d > b . d k > 0 ise, m < 0 ise,

   

   

  3) 0 < a < b ise,

  4) a < b < 0 ise,

  5) 0 < a < b ve n Î IN+ ise, aⁿ < bⁿ dir.

  6) 0 < a < 1 ve n Î IN⁺ – {1} ise, aⁿ < a dır.

   

  7)    a > b
  +     c > d
  ¾¾ ¾¾¾¾¾
  a + c > b + d

  8)   0 < a < b

  x     0 < c < d
  ¾¾¾¾¾¾¾¾
  0 < a . c < b . d

  9) a . b < 0 ise, a ile b zıt işaretlidir.

  10) a . b > 0 ise, a ile b aynı işaretlidir.

  İki Bilinmeyenli Doğrusal Eşitsizliklerin Grafikleri
  
  ax+by+c > 0
  ax+by+c < 0
  ax+by+c ³ 0
  ax+by+c £ 0
  
  Yukarıda verilen eşitsizlikler birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizliklerdir.Grafik çizilirken bir nokta alınır.Bu nokta sağlarsa grafik bu tarafa taranır,sağlamazsa grafik diğer tarafa taranır.Eşittir olanlar düz çizgili grafiktir, eşittir olmayanlar kesik çizgili grafiktir.

  

   

  Eşitsizliklerin Çözümü

  Denklemleri çözmek için kullandığımız yolun aynısını eşitsizlikleri çözmek için de kullanabiliriz.

  Örnek 1:

   

   

  Bu eşitsizliği çözelim.	2 y + 3 > 15		(Her iki taraftan 3 çıkaralım)
  	2 y > 12		(Her iki tarafı 2 ile bölelim)
  	y > 6

   

   
  Sonuç; y > 6 dir. Bu ifade bize y değişkeninin 7, 8, 9, 10, … değerlerini alabileceğini göstermektedir.
  Örnek 2:

   

   

  Bu eşitsizliği çözelim.	3 y  – 6  ? 9		(Her iki tarafı 6 ile toplayalım)
  	3 y ? 15		(Her iki tafarı 3 ile bölelim)
  	y   ? 5

   

   

  Bu eşitsizliğin çözüm kümesine 5 değerinide alırız. Çünkü eşitsizlik sembolümüz ”  ? ” (küçük eşit) tir. Çözüm kümesi = { …, 3, 4, 5} dir.

  Eğer y değişkeninin işareti negatif ise, y değişkenini eşitsizliğin diğer tarafına atıp örnekteki gibi işaretini pozitif yapın.

  Örnek 3:

   

   

  Bu eşitsizliği çözelim.	5 – 2 y > 3		(Her iki tarafı 2 y ile toplayalım )
  	5 > 3 + 2 y
  	2 > 2 y		(Her iki tarafı 2 ile bölelim)
  	1 > y

   

   

  Eşitsizlikleri değişkenin olduğu taraftan başlayarak okuruz.” y küçüktür 1” .Bu durumda

  Çözüm kümesi = {0, –1, –2, –3,..}

  Not: Eğer aşağıdaki gibi çift taraflı eşitsizlik var ise ne yaparız?

  Örnek 4:

   

   

  Bu eşitsizliği çözelim	3 x – 1 > 2 x < x + 5
  Bu durumda eşitsizliği ikiye ayırırız.
  	3 x – 1 > 2 x	ve	2 x < x + 5
  	3 x – 2 x >1		2 x – x < 5
  	x >1		x < 5

  x’ in pozitif değerleri 2, 3, 4.

  Eşitsizliğin çözümüne “Değer Kümesi” denir.