Bir doğru üzerinde olmayan (doğrusal olmayan)A,B,C gibi üç noktanın birleşiminden oluşan kapalı şekle ÜÇGEN denir.
Bir üçgen noktalar kümesidir ve içinde bulunduğu
düzlemi üç ayrı noktalar kümesine ayırır. Bunlar;
a)Üçgenin İçinde Kalan Noktalar Kümesi
b)Üçgenin Kendisi
c)Üçgenin Dışında Kalan Noktalar Kümesi
Bir Üçgenin Temel Elemanları
1.Üçgenin Kenarları:[BC],[AC],[AB]
doğru parçalarına “Üçgenin Kenarları” denir.
Kenar uzunlukları karşılarındaki açıların
kenarlarıyla adlandırılırlar.
2.Üçgenin İç Açıları:Üçgenin iki kenarının
oluşturduğu her bir açı “Üçgenin İç Açısı” olarak
adlandırılır. Bir üçgenin iç açıları toplamı 180º`dir.
3.Üçgenin Dış Açıları:Üçgenin iç açılarının
komşu bütünleri olan açılara
“Üçgenin Dış Açıları” denir. Bir dış açı
kendisine komşu olmayan iki iç açının
toplamına eşittir. Bir üçgenin iç açısıyla
dış açısının toplamı 180º`dir. Bir üçgenin
dış açıları toplamı ise 360º`dir.
Bir Üçgenin Yardımcı Elemanları
1.Üçgenin Yüksekliği:Üçgenin bir köşesinden
karşı tarafa indirilen, köşe ile kenar arasında
kalan doğru parçasına “Üçgenin Yüksekliği”
denir.”H” ile gösterilir.
2.Üçgenin Kenar Ortayları:Üçgenin bir köşe
ile bu köşenin karşısındaki kenarın orta
noktasını birleştiren doğru parçasına
“Üçgenin Kenar Ortayı” denir. “V” ile
gösterilir.
3.Üçgenin Açı Ortayı:Üçgenin açılarını
iki eş açıya bölen doğruların,köşe ile
kenar arasında kalan doğru parçasına
“ÜÇGENİN AÇI ORTAYI” denir. ” N”
ile gösterilir.
Üçgenin Kenarları Arasındaki
Bağıntılar
Bir üçgende iki kenarın uzunlukları
toplamı
üçüncü kenar uzunluğundan büyük;
iki kenar
uzunluğunun farkı, üçüncü kenarı uzunluğunda
küçüktür.
Üçgenin Açıları Arasındaki Bağıntılar
Bir üçgende, bir köşedeki iç açı ile dış açının
toplamı 180º`dir.
Bir üçgende, bir dış açının ölçüsü, kendisine
komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
Üçgenin Kenar Uzunluklar ve Açıları
Arasındaki Bağıntılar
Bir üçgende ölçüsü büyük olan kenar karşısında
büyük açı, küçük olan kenar karşısında
küçük kenar vardır.
Üçgenin Çeşitleri
1.Kenarlarına Göre Üçgenler
a)Çeşit Kenar Üçgen:Üçgenin kenarlarının
hepsi farklıysa bu üçgene “Çeşit Kenar Üçgen”
denir.
b)İkiz Kenar Üçgen:Üçgenin kenarlarının
iki tanesi eşit olan üçgene “İkiz Kenar Üçgen”
denir. Bir ikizkenar üçgenin, taban açıların
ölçüleri birbirine eşittir.
c)Eşkenar Üçgen:Üçgenin kenarlarının hepsi eşit
olan üçgene “Eşkenar Üçgen” denir. Bir eşkenar
üçgenin iç açıları 60º `dir.
2.Açılarına Göre Üçgenler
a)Dar Açılı Üçgen:Üçgenin açılarından her birinin
ölçüsü 90º`den küçük olan üçgene “Dar Açılı Üçgen”denir.
b)Geniş Açılı Üçgen:Bir açısı geniş açı olan üçgene
“Geniş Açılı Üçgen” denir.
c)Dik Açılı Üçgen:Açılarından birisi dik açı
olan üçgene “Dik Açılı Üçgen” denir.
Üçgenin Alanını ve Çevresini Bulma
Üçgenin çevresini bulabilmek için
kenarlar toplanır.
Ç = a + b + c
Üçgenin alanını bulmak için yükseklikle
kenar çarpılır ve ikiye bölünür.
h x a h x b h x c
A= ——— = ——— = ——–
2 2 2
ÖZEL ÜÇGENLER
(7; 24; 25) dik üçgeni
(7; 24; 25) dik üçgeni
Dik üçgenlerin dik kenarları 7 ve 24 ile orantılı ise hipotenüs 25 ile orantılıdır.
(45°; 45°; 90°) üçgeni
[b](45°; 45°; 90°) üçgeni Bu üçgen ikizkenar dik üçgendir. Dik kenarlar birbirine eşittir.
Hipotenüsün uzunluğu dik kenarların uzunluğunun2 katıdır.
(30°; 60°; 90°) üçgeni
(30°; 60°; 90°) üçgeni
Eşkenar üçgenin yarısı olan bu üçgende, 30° nin karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısı ve 60° nin karşısındaki kenarın uzunluğu 30° nin karşısındaki kenarın uzunluğunun 3 katıdır.
İkizkenar üçgende tepe noktasından çizilen yükseklik hem kenarortay hemde açıortaydır.
PİSAGOR BAĞINTISI NEDİR?
Bir dik üçgende hipotenüsün uzunluğunun karesi, dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamına eşittir. Bu bağıntıya (Pythagoras) Pisagor Bağıntısı denir.
Hipotenüs 90 derecenin karşısındaki kenardır. Dik kenarlar ise 90 derecenin oluştuğu kenarlardır.
a2=b2+c2
a.a=b.b+c.c
Örnek: 3-4-5 üçgeni
5-12-13 üçgeni
6-8-10 üçgeni şeklinde özel üçgenler vardır.
Çözümlü Örnek Sorular:
Örneklerin hepsi yukarıdaki dik üçgene göre hazırlanmıştır.
1) b=6cm, c=8cm ise a=?
a2=b2+c2
a2=6.6+8.8
a2=36+64=100
a2=100 (Bundan sonra her iki tarafın karekökü alınır.)
Öa2=Ö100 (a2 kök dışına a çıkar,100 kök dışına 10
çıkar.)
a=10cm
2) b=7cm, c=7cm ise a=?
a2=b2+c2
a2=7.7+7.7
a2=49+49=98
a2=98 (Bundan sonra her iki tarafın karekökü alınır.)
Öa2=Ö98 (a2 kök dışına a çıkar,98 kök dışına 7Ö2 çıkar.)
a=7Ö2cm
3) b=4cm, c=6cm ise a=?
a2=b2+c2
a2=4.4+6.6
a2=16+36=52
a2=52 (Bundan sonra her iki tarafın karekökü alınır.)
Öa2=Ö52 (a2 kök dışına a çıkar,52 kök dışına 2Ö13 çıkar.)
a=2Ö13cm
4) b=2Ö2cm, c=3Ö5cm ise a=?
a2=b2+c2
a2=2Ö2.2Ö2 + 3Ö5.3Ö5
a2=4Ö4 + 9Ö25
a2=4.2 + 9.5=8+45=53
a2=53 (Bundan sonra her iki tarafın karekökü alınır.)
Öa2=Ö53 (a2 kök dışına a çıkar,53 kök dışına çıkamaz
çünkü asal sayıdır,kökün içinde kalır.)
a=Ö53cm
5) a=5cm, b=1cm ise c=?
a2=b2+c2
5.5=1.1+c2
25=1+c2
25-1=c2
24=c2
c2=24 (Bundan sonra her iki tarafın karekökü alınır.)
Öc2=Ö24 (c2 kök dışına c çıkar,24 kök dışına 2Ö6 çıkar.)
c=2Ö6cm
